Задание 8. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины D, Е, F, D1, E1, F1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 10, а боковое ребро равно 12.
Решение.
В задаче нужно найти объем треугольной призмы, показанной ниже на рисунке красными линиями.
Сначала
найдем площадь треугольника DEF (основание призмы). Для этого вычислим
длину стороны ребра в основании правильной шестиугольной призмы. По условию
задачи нам дана площадь основания, то есть площадь правильного шестиугольника.
Эта площадь разбивается на 6 равносторонних треугольников (см. рисунок ниже),
то есть площадь одного треугольника равна 
.
Площадь равностороннего треугольника можно вычислить через длины его смежных сторон и синус угла между ними по формуле
,
где a – длина стороны треугольника, которая равна стороне шестиугольника. Отсюда находим квадрат длины стороны:
Площадь треугольника DEF (основание призмы) будет равна
,
так как синус 120 равен синусу 60 градусов. Подставляем числовые значения, получаем площадь основания призмы:
.
Объем призмы вычислим как произведение площади основания на высоту
.
Ответ: 20.
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: