Задание 14. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD все рёбра равны 1. Точка F — середина ребра AS.
а) Постройте прямую пересечения плоскостей SAD и BCF.
б) Найдите угол между плоскостями SAD и BCF.
Решение.
а) Плоскость BCF также будет
проходить через точку G, лежащую по середине отрезка SD (см. рисунок),
так как для плоскости должно соблюдаться 
, 
и 
. В результате имеем прямую FG, являющуюся
линией пересечения плоскостей SAD и BCF.
б) Спроецируем точку F на вектор AD,
получим точку M, причем 
. Аналогично построим
проекцию точки F на вектор BC, получим точку N и 
. В результате получили
треугольник MFN, в котором угол
будет
соответствовать углу между искомыми плоскостями. Найдем данный угол по теореме
косинусов, получим:
.
Определим длины сторон треугольника MFN. Рассмотрим
прямоугольный треугольник FBN, у которого сторона 
, так как она является медианой
равностороннего треугольника со сторонами 1. Длина 
находится из равнобедренной
трапеции FGBC. По теореме
Пифагора находим катет FN:
.
Найдем теперь длину FM из
прямоугольного треугольника AFM, в котором 
, 
(из равнобедренной трапеции AFGD) и по теореме
Пифагора получаем:
.
Таким образом, косинус угла между плоскостями равен (здесь взят модуль, так как за угол между плоскостями берется острый угол)
и угол
.
Другие задания: