Самообразование
Главная > 2016: ЕГЭ, ОГЭ Математика, Физика > ЕГЭ 2016. Математика, И.В. Ященко. Профильный уровень (36 вариантов)

Вариант 19. Задание 14. ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение. Ответ.

Задание 14. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD все рёбра равны 1. Точка F — середина ребра AS.

а) Постройте прямую пересечения плоскостей SAD и BCF.

б) Найдите угол между плоскостями SAD и BCF.

Решение.

а) Плоскость BCF также будет проходить через точку G, лежащую по середине отрезка SD (см. рисунок), так как для плоскости должно соблюдаться ,  и . В результате имеем прямую FG, являющуюся линией пересечения плоскостей SAD и BCF.

б) Спроецируем точку F на вектор AD, получим точку M, причем . Аналогично построим проекцию точки F на вектор BC, получим точку N и . В результате получили треугольник MFN, в котором угол  будет соответствовать углу между искомыми плоскостями. Найдем данный угол по теореме косинусов, получим:

.

Определим длины сторон треугольника MFN. Рассмотрим прямоугольный треугольник FBN, у которого сторона , так как она является медианой равностороннего треугольника со сторонами 1. Длина  находится из равнобедренной трапеции FGBC. По теореме Пифагора находим катет FN:

.

Найдем теперь длину FM из прямоугольного треугольника AFM, в котором ,  (из равнобедренной трапеции AFGD) и по теореме Пифагора получаем:

.

Таким образом, косинус угла между плоскостями равен (здесь взят модуль, так как за угол между плоскостями берется острый угол)

и угол

.

Автор: С.М. Балакирев
Формат книги: pdf
Дата написания: 2017 г.
Объем: 70 стр.

Другие задания варианта:

Видео по теме