Задание 19. а) Приведите пример числа-палиндрома, который делится на 15.
б) Сколько существует пятизначных чисел-палиндромов, делящихся на 15?
в) Найдите 37-е по величине число-палиндром, которое делится на 15.
Решение.
а) Число-палиндром – это число, которое остается неизменным, если его читать наоборот. Возьмем четырехзначное число-палиндром и составим его из цифр a и b, получим: abba. Нужно подобрать цифры a и b так, чтобы число abba делилось на 15, т.е. оно должно быть кратно 15. Чтобы число было кратно 15, цифра a должна быть равна 5. Остается подобрать цифру b так, чтобы число было кратно 15, получим:
- число 5115 – кратно 15;
- число 5225 – не кратно 15;
- число 5335 – не кратно 15;
- число 5445 – кратно 15;
и т.д.
Ответ: 5115; 5445.
б) Чтобы число делилось на 15,
последняя цифра должна быть 5 (0 на конце недопустим), получим числа по форме 5aba5. Также это
число должно делиться еще и на 3, т.к. 
, где 3 и 5 – простые числа. Признаком
делимости числа на 3 является то, что сумма цифр числа делится на 3, таким
образом, получаем условие:
должно быть кратно 3. Очевидно, цифра b может быть от 0 до 9, имеем:
- для b=0: 
;
- для b=1: 
;
- для b=2: 
;
- для b=3: 
.
Дальше все повторяется, т.к. сумма увеличилась на 3. Таким образом, в первой тройке значений имеем 10 вариантов чисел-палиндромов. Аналогично для второй и третьей тройки. В последнем варианте при b=9 имеем 3 варианта и того 30+3=33 варианта.
Ответ: 33.
в) Найдем 37-е по счету число-палиндром, начиная с самого младшего, т.е. с трехзначного числа типа 5a5, затем переберем четырехзначные 5aa5, получим:
- для трехзначных:
525, 555, 585;
- для четырехзначных:
5115, 5445, 5775;
Итак, имеем 6 первых чисел-палиндромов. В соответствии со схемой, представленной в пункте б), найдем 37-е число-палиндром. По сути, нужно найти 37-6=31-е пятизначное число-палиндром, которое будет соответствовать b=2 и a=9, т.е. получим число
59295
Ответ: 59295.
Другие задания: