Задание 14. В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами АВ=√11 и ВС = 2√3. Длины боковых рёбер пирамиды SA = 5, SB = 6, SD = √37.
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямой SC и плоскостью ASB.
Решение.
а) 1. Рассмотрим треугольник SAB со сторонами , , . Так как , то треугольник SAB – прямоугольный с гипотенузой SB и катетами .
2. Рассмотрим треугольник SAD. Его стороны , , . Можно заметить, что
,
следовательно, треугольник SAD прямоугольный с гипотенузой SD и катетами .
3. Так как и , то ребро и, следовательно, SA – высота пирамиды.
б) По теореме о трех перпендикулярах . Угол между гранью SC и плоскостью ASB будет равен углу CSB.
Рассмотрим прямоугольный треугольник SBC. Тангенс угла CSB равен
.
Следовательно,
,
который соответствует углу между прямой SC и плоскостью ASB.
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: