Задание 14. В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами АВ=√11 и ВС = 2√3. Длины боковых рёбер пирамиды SA = 5, SB = 6, SD = √37.
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямой SC и плоскостью ASB.
Решение.
а) 1. Рассмотрим треугольник SAB со сторонами 
, 
, 
. Так как 
, то треугольник SAB – прямоугольный
с гипотенузой SB и катетами 
.
2. Рассмотрим треугольник SAD. Его стороны 
, 
, 
. Можно заметить, что
,
следовательно, треугольник SAD прямоугольный с
гипотенузой SD и катетами 
.
3. Так как и , то ребро 
и, следовательно, SA – высота
пирамиды.
б) По теореме о трех
перпендикулярах 
.
Угол между гранью SC и плоскостью ASB будет равен
углу CSB.
Рассмотрим прямоугольный треугольник SBC. Тангенс угла CSB равен
.
Следовательно,
,
который соответствует углу между прямой SC и плоскостью ASB.
Другие задания: