Задание 14. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания АВ равна 6, а боковое ребро SA равно 4. Точки М и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость a содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость a делит медиану СЕ основания в отношении 5:1, считая от точки С.
б) Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью a.
Решение.
а) Сечение (плоскость 
) проходит через точки M и N, причем 
- средняя линия. Это
означает, что отрезок 
. По условию секущая плоскость
перпендикулярна плоскости ABC, следовательно, она пересекает
плоскость ABC по уровню PQ, причем 
. Таким образом, секущая
плоскость представляет собой трапецию PMNQ.
Рассмотрим прямоугольный треугольник SOE, где SO – высота правильной пирамиды. Точка O лежит на пересечении медиан правильного треугольника (в основании пирамиды) и делит их в отношении 2:1, то есть
.
Точка K является
серединой отрезка MN, причем 
, откуда следует, что 
. Так как 
, то 
. Таким образом, получаем, что 
.
б) Найдем периметр трапеции MNPQ:
,
где 
; 
.
Для вычисления сторон 
, найдем высоту 
(величина SO=2 находится по
теореме Пифагора из прямоугольного треугольника SOC, учитывая, что OC – радиус
описанной окружности вокруг равностороннего треугольника и равен 
). Длину отрезка NQ найдем из
прямоугольного треугольника NHQ (см. рисунок ниже).
Катет NH=KZ=1, а катет HQ равен
и
.
Получаем значение периметра
.
Другие задания: