Задание 14. В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами АВ = 4 и ВС = 3. Длины боковых рёбер пирамиды SA = √11 , SB = 3√3, SD = 2√5.
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямой SC и плоскостью ASB.
Решение.
а) Доказательство. Рассмотрим
треугольник SAB, у которого
стороны 
, 
и 
. Значения этих сторон
подчиняются выражению
,
следовательно, треугольник SAB прямоугольный с
.
Рассмотрим треугольник SAD со сторонами , 
, 
. Длины сторон треугольника также
подчиняются выражению
,
то есть он является прямоугольным и 
.
Из перпендикулярности и следует, что 
и, следовательно, SA – высота
пирамиды.
б) Проекция SC на плоскость SAB будет прямая SB. Таким образом,
нужно найти угол между прямыми SC и SB (см. рисунок),
т.е. угол 
.
Рассмотрим прямоугольный треугольник SCB. Тангенс угла 
равен
и
.
Другие задания: