Задание 14. Дан куб ABCDA1B1C1D1.
а) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки В, А1 и D1.
б) Найдите угол между плоскостями BA1C1 и BA1D1.
Решение.
а) Сечением куба будет плоскость,
проходящая через точки 
, т.к. 
и, следовательно, точка 
принадлежит искомой
плоскости.
б) Углом между двумя плоскостями 
и 
будет двугранный угол,
измеряемый линейным углом 
между двумя отрезками 
и 
(данные отрезки получаются, если к 
провести
перпендикулярные векторы в плоскостях и ; точка 
- середина , 
- точка пересечения диагоналей
прямоугольника).
Пусть ребра куба равны 1. Тогда длина
отрезка 
.
Длина отрезка 
,
где 
и,
соответственно, 
.
Длина отрезка 
.
Наконец, длина
.
Теперь есть все длины треугольника 
, из которого по
теореме косинусов находим косинус угла между плоскостями:
и угол равен
.
Другие задания: