Задание 19. На доске написано более 50, но менее 60 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно -3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 5, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно -10.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
Решение.
а) Обозначим через 
число положительных чисел, через
- число
отрицательных, а через 
- число и не положительных и не
отрицательных чисел, то есть чисел 0. Тогда можно записать равенство
или в виде
.
Анализ данного выражения показывает, что
сумма 
должна
быть целым числом, кратным 5, чтобы в результате получилось целое -3. Кроме
того, в задаче сказано, что
.
В этом диапазоне числа кратные 5 это
единственное число 55, следовательно, 
.
Ответ: 55.
б) Ответ на этот вопрос дан в пункте в).
Ответ: отрицательных.
в) Найдем число положительных и
отрицательных чисел. Из соотношения при 
, имеем
откуда
.
Заметим, что для максимизации и , число должно быть минимально, то есть нужно взять
такое минимальное 
,
чтобы число 
делилось на
3 нацело. Таким число является 
и
,
соответственно, максимальное число положительных чисел, будет равно
.
Ответ: 25.
Другие задания: