Задание 14. Вокруг куба ABCDA1B1C1D1 с ребром 2 описана сфера. На ребре СС1 взята точка М так, что плоскость, проходящая через точки А, В, и М, образует угол 15° с плоскостью ABC.
а) Постройте линию пересечения сферы и плоскости, проходящей через точки А, В и М.
б) Найдите длину линии пересечения плоскости АВМ и сферы.
Решение.
а) Сечение сферы плоскостью является окружностью. Пусть прямая BM вторично пересекает сферу в точке K. Искомая линия – описанная окружность вокруг прямоугольного треугольника ABK.
б) Точка K – точка
пересечения прямой BM с описанной окружностью квадрата 
. Угол 
, так как 
- диаметр окружности,
поэтому 
.
Так как 
, то 
. Следовательно,
.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABK. Длина
описанной вокруг него окружности равна произведению ее диаметра AK на число 
. Таким образом,
и длина линии пересечения плоскости АВМ и
сферы равна 
.
Другие задания: