Задание 19. Назовём натуральное число палиндромом, если в его десятичной записи все цифры расположены симметрично (совпадают первая и последняя цифры, вторая и предпоследняя, и т.д.). Например, числа 121 и 953359 являются палиндромами, а числа 10 и 953953 не являются палиндромами.
а) Приведите пример числа-палиндрома, которое делится на 45.
б) Сколько существует пятизначных чисел-палиндромов, делящихся на 45?
в) Найдите десятое по величине число-палиндром, которое делится на 45.
Решение.
а) Самым простым вариантом будет число-палиндром 5445, которое делится на 45.
Ответ: 5445.
б) Разложим число 45 на простые множители, получим
,
то есть число должно делиться и на 5 и на 9. Признаком кратности числа на 5 является наличие цифры 5 в конце числа (цифру 0 не учитываем, т.к. она не подходит). Получаем число-палиндром в виде 5aba5, где a,b – цифры числа. Признаком делимости числа на 9 является то, что сумма цифр
должна делиться на 9. Из этого условия имеем:
- для b=0: 
;
- для b=1: 
;
- для b=2: 
;
- для b=3: 
;
- для b=4: 
;
- для b=5: 
;
- для b=6: 
;
- для b=7: 
;
- для b=8: 
;
- для b=9: 
.
Таким образом, получаем 11 вариантов.
Ответ: 11 чисел.
в) Десятое по величине число-палиндром, делящийся на 45, равен 56565 - на самостоятельное решение.
Ответ: 56565.
Другие задания: