Задание 14. В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами АВ = 4 и ВС = 6. Длины боковых рёбер пирамиды SA = 3, SB = 5, SD = 3√5.
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите расстояние от вершины А до плоскости SBC.
Решение.
а) SA будет высотой пирамиды, если она будет перпендикулярна (ортогональна) плоскости основания ABCD. Докажем это. Рассмотрим треугольник SAB со сторонами , которые подчиняются равенству
,
следовательно, треугольник SAB прямоугольный с гипотенузой SB и катетами .
Теперь рассмотрим треугольник SAD, у которого стороны , также подчиняются равенству
,
следовательно, SAD прямоугольный треугольник с гипотенузой SD и катетами .
Учитывая, что и , то , т.е. является высотой.
б) Расстояние от точки A до плоскости SBC – это перпендикуляр из точки A на плоскость SBC. Это расстояние можно интерпретировать как высоту пирамиды с основанием SBC и вершиной A (повернутая пирамида, точку D условно отбрасываем). Высоту пирамиды найдем из формулы объема пирамиды:
.
В то же время объем этой же пирамиды можно найти и так:
.
Таким образом, получаем
.
Ответ: 2,4.
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: