Задание 14. В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами АВ = 4 и ВС = 6. Длины боковых рёбер пирамиды SA = 3, SB = 5, SD = 3√5.
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите расстояние от вершины А до плоскости SBC.
Решение.
а) SA будет высотой
пирамиды, если она будет перпендикулярна (ортогональна) плоскости основания ABCD. Докажем это.
Рассмотрим треугольник SAB со сторонами 
, которые подчиняются равенству
,
следовательно, треугольник SAB прямоугольный с
гипотенузой SB и катетами 
.
Теперь рассмотрим треугольник SAD, у которого
стороны 
,
также подчиняются равенству
,
следовательно, SAD прямоугольный
треугольник с гипотенузой SD и катетами 
.
Учитывая, что и , то 
, т.е. является высотой.
б) Расстояние от точки A до плоскости SBC – это
перпендикуляр из точки A на плоскость SBC. Это расстояние
можно интерпретировать как высоту пирамиды с основанием SBC и вершиной A (повернутая
пирамида, точку D условно отбрасываем). Высоту пирамиды 
найдем из формулы
объема пирамиды:
.
В то же время объем этой же пирамиды можно найти и так:
.
Таким образом, получаем
.
Ответ: 2,4.
Другие задания: