ЕГЭ и ОГЭ
Главная

Источник задания: Решение 4949. ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Ответ.

Задание 14. В правильной треугольной пирамиде МАВС с основанием ABC стороны основания равны 6, а боковые рёбра равны 8. На ребре АС находится точка D, на ребре АВ находится точка Е, а на ребре AM — точка L. Известно, что CD = BE = AL = 2.

а) Докажите, что отрезок DE содержит центр основания пирамиды.

б) Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью, проходящей через точки Е, D и L.

Решение.

а) В основании правильной треугольной пирамиды лежит правильный (равносторонний) треугольник. Проекция высоты пирамиды на основание лежит на пересечении медиан равностороннего треугольника, которые делят друг друга в отношении 2:1, то есть  (см. рисунок).

По условию известно, что , а стороны основания (треугольника) равны 6 единиц, следовательно,  и . Отсюда следует, что и . Но если это так, то точка O является проекцией вершины пирамиды M на основание.

б) Двугранный угол между плоскостью ABC и плоскостью ELD равен линейному углу AOL. Проведем перпендикуляр LN (см. рисунок) и рассмотрим прямоугольный треугольник LNO. Тангенс угла AOL (то же самое что и тангенс угла NOL) равен

.

Найдем стороны LN и NO. Рассмотрим прямоугольный треугольник APB, из которого по теореме Пифагора находим

,

соответственно,

.

Длина отрезка , так как точка L составляет 1/4 от длины отрезка AM, и следовательно, ее проекция N на отрезок AO составляет 1/4 от точки A, оставшаяся часть составляет 3/4. Получаем:

.

Для нахождения LN рассмотрим прямоугольный треугольник MOA, где

,

так как , получаем

и

,

откуда

.

Другие задания:

Для наших пользователей досутпны следующие материалы:

Видео по теме