Задание 14. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 3, боковые ребра равны 1, точка D – середина ребра CC1.
а) Постройте прямую пересечения плоскостей ABC и ADB1.
б) Найдите угол между плоскостями ABC и ADB1.
Решение.
а) Построение. Плоскости ABC и 
будут иметь две общие
точки: точка 
,
лежащая на пересечении отрезков BC и 
и точка A, находящаяся в
основании призмы (см. рисунок). Отрезок AN, соединяющий
эти две точки, будет образовывать прямую пересечения плоскостей ABC и .
б) Угол между плоскостями будет
соответствовать углу 
,
причем отрезок 
будет
являться высотой треугольника ACN. Из рисунка видно, что треугольники 
и 
подобны друг другу с
коэффициентом подобия 
. Отсюда следует, что отрезок 
. Сторона 
. Следовательно,
треугольник ACN равнобедренный
с углом 
(так
как угол 
в
силу того, что треугольник ABC равносторонний). В равнобедренном
треугольнике высота CH будет являться также и биссектрисой. Высоту CH вычислим из
прямоугольного треугольника CHN, в котором CN – гипотенуза с
прилежащим к ней углом 
:
.
Учитывая, что точка D лежит точно
посередине отрезка 
,
получаем длину отрезка 
.
Найдем тангенс угла 
между плоскостями ABC и из прямоугольного
треугольника CDH, получим:
и
.
Другие задания: