Самообразование
Главная > 2016: ЕГЭ, ОГЭ Математика, Физика > ЕГЭ 2016. Математика, И.В. Ященко. Профильный уровень (36 вариантов)

Вариант 16. Задание 19. ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение. Ответ.

Задание 19. а) Приведите пример трёхзначного числа, у которого ровно 7 натуральных делителей.

б) Существует ли такое трёхзначное число, у которого ровно 21 натуральный делитель?

в) Сколько существует таких трёхзначных чисел, у которых ровно 18 натуральных делителей?

Решение.

а) Рассмотрим трехзначное число, например, 121, оно разлагается на два простых числа 11 и 11:

.

Если к степеням простых множителей добавить 1 и полученные числа перемножить, то получим общее число делителей числа. В данном случае имеем

 

- общее число делителей числа 121, это числа: 1, 11, 22 и 121.

Чтобы получить ровно 7 делителей можно взять число , у которого будет 6+1=7 делителей. Это делители: 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729.

Ответ: 729.

б) Если у числа 21 делитель, то можно, например, подобрать простые множители со степенью 20, но минимальное число  - это явно не трехзначное число. Вместе с тем, число 21 можно представить в виде произведения  и взять множители . У числа 576

21 делитель:

1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 32, 36, 48, 64, 72, 96, 144, 192, 288, 576.

Ответ: 576.

в) Ровно 18 делителей для трехзначных чисел можно получить следующим образом. Число 18 можно представить в виде множителей следующими вариантами:

 

То есть для получения трехзначных чисел с 18-ю делителями, необходимо перебрать все простые множители, с соответствующим числом делителей и степенями:

- для первого варианта имеем:

- для второго варианта:

- для третьего варианта:

.

Всего имеем 17 вариантов трехзначных чисел с 18-ю делителями.

Ответ: 17.

Автор: С.М. Балакирев
Формат книги: pdf
Дата написания: 2017 г.
Объем: 70 стр.

Другие задания варианта:

Видео по теме