Задание 19. а) Приведите пример трёхзначного числа, у которого ровно 7 натуральных делителей.
б) Существует ли такое трёхзначное число, у которого ровно 21 натуральный делитель?
в) Сколько существует таких трёхзначных чисел, у которых ровно 18 натуральных делителей?
Решение.
а) Рассмотрим трехзначное число, например, 121, оно разлагается на два простых числа 11 и 11:
.
Если к степеням простых множителей добавить 1 и полученные числа перемножить, то получим общее число делителей числа. В данном случае имеем
- общее число делителей числа 121, это числа: 1, 11 и 121.
Чтобы получить ровно 7 делителей можно
взять число 
,
у которого будет 6+1=7 делителей. Это делители: 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729.
Ответ: 729.
б) Если у числа 21 делитель, то можно,
например, подобрать простые множители со степенью 20, но минимальное число 
- это явно не
трехзначное число. Вместе с тем, число 21 можно представить в виде произведения
и взять
множители 
.
У числа 576
21 делитель:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 32, 36, 48, 64, 72, 96, 144, 192, 288, 576.
Ответ: 576.
в) Ровно 18 делителей для трехзначных
чисел можно получить следующим образом. Число 18 можно представить в виде
множителей 
следующими
вариантами:
То есть для получения трехзначных чисел с 18-ю делителями, необходимо перебрать все простые множители, с соответствующим числом делителей и степенями:
- для первого варианта имеем:
- для второго варианта:
- для третьего варианта:
.
Всего имеем 17 вариантов трехзначных чисел с 18-ю делителями.
Ответ: 17.
Другие задания: