Задание 14. В правильной треугольной пирамиде МАВС с основанием ABC стороны основания равны 6, а боковые рёбра равны 5. На ребре АС находится точка D, на ребре АВ находится точка Е, а на ребре AM — точка L. Известно, что AD = АЕ = AL = 4.
а) Докажите, что отрезок DE содержит центр основания пирамиды.
б) Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью, проходящей через точки Е, D и L.
Решение.
а) В правильной треугольной
пирамиде высота M проецируется в точку O пересечения
медиан правильного (равностороннего) треугольника. Медианы делят друг друга в
соотношении 1:2, то есть 
.
По условию задания 
, длина отрезков 
, следовательно, точки D и E делят стороны AB и AC в соотношении 
. Это означает, что
точка пересечения 
также
делит медиану AP в соотношении . Но это означает, что
точка O является
проекцией вершины пирамиды M на основание, т.е. DE содержит центр
основания пирамиды.
б) Двугранный угол между плоскостью ABC и плоскостью EDL равен линейному углу AOL. Проведем перпендикуляр LN (см. рисунок) и рассмотрим прямоугольный треугольник LNO. Тангенс угла AOL (то же самое что и тангенс угла NOL) равен
.
Найдем стороны LN и NO. Рассмотрим прямоугольный треугольник APB, из которого по теореме Пифагора находим
,
соответственно,
.
Длина отрезка 
, так как точка L составляет 4/5 от
длины отрезка AM, и
следовательно, ее проекция N на отрезок AO составляет 4/5
от точки A, оставшаяся
часть составляет 1/5. Получаем:
.
Для нахождения LN рассмотрим прямоугольный треугольник MOA, где
,
так как 
, получаем
и
,
откуда
.
Другие задания: