Задание 14. В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами АВ = 8 и ВС = 6. Длины боковых рёбер пирамиды SA = √21, SB = √85 , SD = √57.
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямыми SC и BD.
Решение.
а) Рассмотрим треугольник SAB. Из значения его сторон следует, что
,
Следовательно, SB – гипотенуза и угол SAB – прямой.
Аналогично для треугольника SAD:
,
получаем, что SD – гипотенуза и
угол SAD – прямой. В
результате получаем, что при 
и 
, следует 
(по признаку перпендикулярности прямой и
плоскости), и следовательно, SA – высота
пирамиды.
б) Угол между прямыми SC и BD – это угол
между двумя скрещивающимися прямыми, который соответствует углу 
между прямыми NO и OD (см. рисунок).
Так как прямая 
и
точка O делит прямую AC пополам, то и
точка N будет делить AS пополам.
Следовательно, ON – это средняя линия треугольника ASC и равна
.
Вычислим диагональ AC из прямоугольного треугольника ACD:
.
Тогда длина ребра SC будет равна (учитывая, что треугольник SAC прямоугольный):
и
.
Так как диагонали в прямоугольнике равны, то BD=AC. Тогда
.
Найдем длину отрезка DN. Рассмотрим
прямоугольный треугольник SAD, в котором катет 
, катет 
и по теореме Пифагора имеем
.
По теореме косинусов находим косинус
угла ,
получаем:
откуда
.
Другие задания:
Для наших пользователей досутпны следующие материалы: