Задание 14. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 5, боковые рёбра равны 2, точка D — середина ребра СС1.
а) Постройте прямую пересечения плоскостей ABC и ADB1.
б) Найдите угол между плоскостями ABC и ADB1.
Решение.
а) Построение. Отметим точку K как результат
пересечения прямой BC и прямой 
: т.е. 
(см. рисунок). Точка A является общей
точкой для плоскостей ABC и 
. Следовательно, указанные плоскости
пройдут через линию AK (см. рисунок). Данная линия и будет прямой пересечения
плоскостей ABC и .
б) Необходимо найти угол DHC (см. рисунок).
Рассмотрим треугольник 
и подобный ему треугольник 
с коэффициентом подобия
(то есть они
равны между собой). Отсюда получаем, что 
. Имеем равнобедренный треугольник с углом 
(так как угол 
у равностороннего
треугольника ABC). В
равнобедренном треугольнике высота CH, проведенная к основанию,
является также и биссектрисой. Рассмотрим прямоугольный треугольник CHK, у которого
гипотенуза и
прилегающий к ней угол 
. Тогда катет CH можно найти как
.
Найдем тангенс угла 
между плоскостями из
прямоугольного треугольника DCH, получим:
и угол между плоскостями равен
.
Другие задания: