Самообразование
Главная > ОГЭ, ЕГЭ Математика 2016 > ЕГЭ 2016. Математика, И.В. Ященко. Профильный уровень (36 вариантов)

Вариант 2. Задание 19. ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение. Ответ.

Задание 19. Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 16 произвольно делят на три группы так, чтобы в каждой группе было хотя бы одно число. Затем вычисляют значение среднего арифметического чисел в каждой из групп (для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу).

а) Могут ли быть одинаковыми два из этих трёх значений средних арифметических в группах из разного количества чисел?

б) Могут ли быть одинаковыми все три значения средних арифметических?

в) Найдите наименьшее возможное значение наибольшего из получаемых трёх средних арифметических.

Решение.

а) Да, могут. Например, можно рассмотреть две группы, в одной пусть будет число 3, а во второй – числа 1 и 5. Остальные числа в третьей группе. Тогда среднее арифметическое в первых двух группах будет равно 3 и (1+5)/2=3 соответственно.

б) Обозначим через x среднее арифметическое во всех трех группах. Пусть в первой группе N чисел, во второй – M чисел, и в третьей – K чисел. Так как всего чисел 10, то N+M+K=10. Также очевидно, что должно соблюдаться условие

Получаем уравнение для x:

Проверим, может ли такое среднее арифметическое быть одинаковым для трех групп. Например, значение  должно давать целое значение. При этом N может меняться в диапазоне от 1 до 8. Но простая подстановка показывает, что ни при одном значении N в этом диапазоне мы не можем получить целого значения. Следовательно, одинакового среднего для всех трех групп быть не может.

в) Среднее арифметическое всех 10 чисел равно 6,1. Следовательно, максимальные средние арифметические для трех групп должны приближаться (а в идеале и совпадать) с этим значением. Дальше нужно догадаться, как разделить числа на три группы. Например, можно заметить, что группа из двух чисел 9 и 3 дает среднее арифметическое (9+3)/2=6, далее, если взять одно число 6, а остальные 7 чисел усреднить, то получим

.

Это очень близко к 6,1. Возможны ли другие разбиения, при которых получим меньшее значение наибольшего среднего? Для этого нужно перебрать возможные варианты и убедиться, что данный ответ наилучший. Ответ: 6,14.

Наша группа Вконтакте

Видео по теме