Задание 25. В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы ABD и ACD равны. Докажите, что углы DAC и DBC также равны.
Решение.
Проведем в четырехугольнике диагонали AC
и BD и отметим точку E
на их пересечении. Рассмотрим треугольники ABE
и DEC, у которых равны углы 
по условию задачи, а
также равны углы 
как
вертикальные. Таким образом, треугольники ABE
и DEC подобные по двум углам с
пропорциональными сторонами BE
и
CE, а также AE
и DE. Рассмотрим теперь треугольники AED
и BEC, у которых сторона AE
пропорциональна стороне DE,
а сторона BE пропорциональна стороне
CE, кроме того, равны углы 
как вертикальные.
Отсюда следует, что треугольники AED
и BEC подобны по двум соответствующим
пропорциональным сторонам и углу между ними. Так как у подобных треугольников соответствующие
углы равны, то угол 
.
Утверждение доказано.
Для наших пользователей доступны следующие материалы: