Задание 25. Биссектрисы углов В и С параллелограмма ABCD пересекаются в точке М стороны AD. Докажите, что М — середина AD.
Решение.
Так как ABCD
– параллелограмм, то стороны 
и 
. Из этого положения следует равенство углов
и 
. Так как BM
–
биссектриса, то равны и углы 
. Из равенства двух углов при основании BM
следует, что треугольник ABM
– равнобедренный, с равными сторонами AB=AM.
Аналогично для треугольника CMD,
у которого углы при основании MC
равны, следовательно, он равнобедренный и CD=MD.
Учитывая, что ABCD – параллелограмм, у
которого стороны AB=CD,
то автоматически следует, что и AM=MD,
то есть точка M
–
середина отрезка AD. Положение
доказано.
