Задание 25. Окружности с центрами в точках I и J не имеют общих точек. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении m:n. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как m:n.
Решение.
По
условию задачи прямые IP:JP=m:n, а MN – касательная к
окружностям в точках M и N, следовательно,
и 
. Рассмотрим два
прямоугольных треугольника IPM и JPN, которые
подобны по двум углам: один угол у них прямой, а два других 
как вертикальные
углы. Для подобных треугольников можно записать соотношение:
,
но
по условию 
,
следовательно,
или, что эквивалентно, в виде
,
где 
- диаметры соответствующих окружностей.
Утверждение доказано.
Для наших пользователей доступны следующие материалы: