Задание 25. Окружности с центрами в точках М и N пересекаются в точках S и Т, причём точки М и N лежат по одну сторону от прямой ST. Докажите, что MN перпендикулярна ST.
Решение.
Так как точки S
и T лежат как на малой, так и на
большой окружностях, то SM=TM
–
радиусы малой окружности, а SN=TN
–
радиусы большой окружности. Следовательно, треугольники STM
и STN – равнобедренные с основанием ST.
Отсюда следует, что треугольники TMN=SMN
по трем сторонам. Так как в равных треугольниках углы также равны, то получаем,
что 
, а
значит, MN – биссектриса
равнобедренного треугольника SNT.
Но биссектриса в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию, также
является высотой, следовательно 
.
Для наших пользователей доступны следующие материалы: