Задание 25. Биссектрисы углов B и C трапеции ABCD пересекаются в точке О, лежащей на стороне AD. Докажите, что точка О равноудалена от прямых АВ, ВС и CD.
Решение.
По условию задачи ABCD – трапеция с основаниями BC и AD и биссектрисами BO и CO, то есть углы и . Из точки O проведем три перпендикуляра (по сути они будут являться расстояниями от точки O до прямых AB, BC и CD).
Теперь заметим, что треугольники BMO=BNO равны как прямоугольные по гипотенузе и острому углу: BO – общая гипотенуза; , так как BO – биссектриса. Из равенства треугольников следует, что OM=ON.
Аналогично для треугольников CNO=CKO, которые равны как прямоугольные по гипотенузе и острому углу: CO – общая гипотенуза; , так как CO – биссектриса. Следовательно, ON=OK.
Таким образом, имеем, что MO=NO=KO, а значит, точка O равноудалена от прямых AB, BC и CD. Положение доказано.
Для наших пользователей доступны следующие материалы: