Задание 25. Биссектрисы углов B и C трапеции ABCD пересекаются в точке О, лежащей на стороне AD. Докажите, что точка О равноудалена от прямых АВ, ВС и CD.
Решение.
По
условию задачи ABCD – трапеция с основаниями BC и AD и биссектрисами
BO и CO, то есть углы 
и 
. Из точки O проведем три
перпендикуляра 
(по
сути они будут являться расстояниями от точки O до прямых AB, BC и CD).
Теперь
заметим, что треугольники BMO=BNO равны как
прямоугольные по гипотенузе и острому углу: BO – общая
гипотенуза; 
,
так как BO – биссектриса.
Из равенства треугольников следует, что OM=ON.
Аналогично
для треугольников CNO=CKO, которые равны как прямоугольные по
гипотенузе и острому углу: CO – общая гипотенуза; 
, так как CO – биссектриса.
Следовательно, ON=OK.
Таким образом, имеем, что MO=NO=KO, а значит, точка O равноудалена от прямых AB, BC и CD. Положение доказано.
Для наших пользователей доступны следующие материалы: