ЕГЭ и ОГЭ
Главная

Решение 3261. В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 96. Найдите стороны треугольника ABC.

Задание 26. В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 96. Найдите стороны треугольника ABC.

Решение.

В треугольнике ABC – BE биссектриса, а AD – медиана. Так как BE – биссектриса, то по свойству биссектрисы можно записать отношение: AB:BC = AE:EC. Но, так как по условию AB:BC = 1:2, то точка E делит отрезок AC в отношении AE:EC = 1:2. Далее, в треугольнике ABD BO – это и высота и биссектриса, значит, ABD – равнобедренный с AB=BD. И, так как, BD=DC (AD – медиана), то BC=2AB.

Треугольник AED – равнобедренный с AE=ED, так как , точка O – середина AD (это следует из равнобедренности треугольника ABD). Следовательно, площади треугольников . Обозначим площадь , тогда

Пусть OE=x, тогда BO=96-x (так как BE=96 по условию задания). Из условия AD=96, имеем: AO=OD=96:2 = 48. Теперь, запишем площади треугольников по формулам:

и, учитывая, что , имеем:

Значит, OE=24, BO=96-24=72. Рассмотрим прямоугольный треугольник AOB, в котором гипотенуза AB, равна:

И, так как, BC=2AB, то BC=48√13. Рассмотрим прямоугольный треугольник AOE, в котором гипотенуза AE, равна:

Значит, EC=48√5, AC=AE+EC = 72√5.

Ответ: 24√13, 48√13, 72√5.

 


Другие задания:

Темы раздела

Для наших пользователей доступны следующие материалы: