ЕГЭ и ОГЭ
Главная

Решение 5061. В параллелограмме ABCD проведена диагональ АС. Точка О является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки О до точки А и прямых AD и АС соответственно равны 13, 9 и 5. Найдите

Задание 26. В параллелограмме ABCD проведена диагональ АС. Точка О является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки О до точки А и прямых AD и АС соответственно равны 13, 9 и 5. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

Решение.

Окружность вписана в треугольник ABC с радиусами OM=ON=OP и перпендикулярными сторонам AB, BC, AC соответственно. По теореме об отрезках касательных, имеем:

MB=BN, AM=AP, CN=CP.

Пусть BM=BN=x, а CN=CP=y. Тогда BC=AD=x+y. Отрезок NN1=AH=5+9=14. Рассмотрим прямоугольный треугольник AMO. По теореме Пифагора найдем сторону AM:

Значит, AP=AM=12. Найдем величину x+y из формулы площади треугольника ABC:

Эту же площадь можно вычислить как

,

где  - полупериметр треугольника ABC; r=5 – радиус вписанной окружности. Приравниваем площади, получаем уравнение:

Значит, BC=AD=30 и площадь параллелограмма, равна:

Ответ: 420


Другие задания:

Темы раздела

Для наших пользователей доступны следующие материалы: