Задание 25. На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и ВС выбрали произвольную точку Е. Докажите, что сумма площадей треугольников АЕВ и CED равна половине площади трапеции.
Решение.
Доказательство проведем от обратного. Докажем сначала, что сумма площадей треугольников BEC и AED составляет половину площади трапеции. Это же автоматические будет означать, что оставшаяся площадь (сумма площадей треугольников AEB и CED) также будет равна половине площади трапеции.
По условию задачи точка E лежит на отрезке MN – средней линии трапеции. Проведем через эту точку высоту HL трапеции. Тогда по определению средней линии, отрезки EH=EL=1/2∙HL. Используя данные обозначения, выразим площади треугольников BEC и AED следующим образом:
Соответственно, сумма этих площадей составит величину, равную
но так как - это площадь всей трапеции, то получаем, что
.
Положение доказано.
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: