Задание 26. В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 12. Найдите стороны треугольника ABC.
Решение.
В треугольнике ABC – BE биссектриса, а AD – медиана. Так как биссектриса BE образует прямой угол с медианой AD, то точка E делит отрезок AC в отношении AE:EC = 1:2. Далее, в треугольнике ABD BO – это и высота и биссектриса, значит, ABD – равнобедренный с AB=BD. И, так как, BD=DC (AD – медиана), то BC=2AB. По свойству биссектрисы, можно записать отношение: AB:BC = AE:EC.
Треугольник AED –
равнобедренный с AE=ED, так как 
, точка O – середина AD (это следует из
равнобедренности треугольника ABD). Следовательно, площади треугольников 
. Обозначим площадь 
, тогда
Пусть OE=x, тогда BO=12-x (так как BE=12 по условию задания). Из условия AD=12, имеем: AO=OD=12:2 = 6. Теперь, запишем площади треугольников по формулам:
и, учитывая, что
, имеем:
Значит, OE=3, BO=12-3=9. Рассмотрим прямоугольный треугольник AOB, в котором гипотенуза AB, равна:
И, так как, BC=2AB, то BC=6√13. Рассмотрим прямоугольный треугольник AOE, в котором гипотенуза AE, равна:
Значит, AC=3AE = 9√5.
Ответ: 3√13, 6√13, 9√5.
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: