ЕГЭ и ОГЭ
Главная

Решение 3361. В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 12. Найдите стороны треугольника ABC.

Задание 26. В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 12. Найдите стороны треугольника ABC.

Решение.

В треугольнике ABC – BE биссектриса, а AD – медиана. Так как биссектриса BE образует прямой угол с медианой AD, то точка E делит отрезок AC в отношении AE:EC = 1:2. Далее, в треугольнике ABD BO – это и высота и биссектриса, значит, ABD – равнобедренный с AB=BD. И, так как, BD=DC (AD – медиана), то BC=2AB. По свойству биссектрисы, можно записать отношение: AB:BC = AE:EC.

Треугольник AED – равнобедренный с AE=ED, так как , точка O – середина AD (это следует из равнобедренности треугольника ABD). Следовательно, площади треугольников . Обозначим площадь , тогда

Пусть OE=x, тогда BO=12-x (так как BE=12 по условию задания). Из условия AD=12, имеем: AO=OD=12:2 = 6. Теперь, запишем площади треугольников по формулам:

и, учитывая, что , имеем:

Значит, OE=3, BO=12-3=9. Рассмотрим прямоугольный треугольник AOB, в котором гипотенуза AB, равна:

И, так как, BC=2AB, то BC=6√13. Рассмотрим прямоугольный треугольник AOE, в котором гипотенуза AE, равна:

Значит, AC=3AE = 9√5.

Ответ: 3√13, 6√13, 9√5.

 


Другие задания:

Темы раздела

Для наших пользователей доступны следующие материалы: