ЕГЭ и ОГЭ
Главная

Решение 3061. Углы при одном из оснований трапеции равны 53° и 37°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 6 и 2. Найдите основания трапеции.

Задание 26. Углы при одном из оснований трапеции равны 53° и 37°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 6 и 2. Найдите основания трапеции.

Решение.

По условию задания в трапеции ABCD углы при основании 53º и 37º, то есть,

Продлим стороны AB и CD до их пересечения в точке F. Получим треугольник AFD с углом

Имеем прямоугольный треугольник AFD, а также прямоугольный треугольник FBC, так как  и углы:

как соответственные при параллельных прямых. Пусть точка P – середина BC. Учитывая, что угол F=90º, имеем равные отрезки FP=BP=CP (как радиусы описанной окружности вокруг треугольника BFC). Аналогично для точки K – середины отрезка AD, имеем: FK=AK=KD.

По условию NN1 = 6 – средняя линия трапеции, значит, BC+AD=12 – в 2 раза больше средней линии. Следовательно, BP+AK=6. Далее, пусть FP=BP=x. Тогда FK=FP+PK=x+2 (PK=2 по условию задания). Следовательно, AK=x+2. Получаем уравнение:

Значит, BP=2, AK=4 и BC=2∙BP=4, AD=2∙AK=8.

Ответ: 4; 8.


Другие задания:

Темы раздела

Для наших пользователей доступны следующие материалы: