Задание 24. Окружность пересекает стороны АВ и АС треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины В и С. Найдите длину отрезка KP, если АР = 34, а сторона ВС в 2 раза меньше стороны АВ.
Решение.
Пусть сторона BC=x, тогда AB=2x, так как она в 2 раза больше стороны BC по условию задачи. Рассмотрим четырехугольник CPKB, который вписан в окружность. Как известно, у такого четырехугольника сумма противоположных углов равна 180 градусов, то есть и . Предположим, что угол , тогда угол , теперь, учитывая, что углы и смежные, то угол
то есть он равен углу . Аналогично и для угла . Из равенства этих двух пар углов следует, что треугольники ACB и APK подобны друг другу по двум углам.
Для подобных треугольников можно записать следующее соотношение:
,
откуда
и подставляя числовые значения, имеем:
.
Ответ: 17.
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: