Задание 24. Окружность пересекает стороны АВ и АС треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины В и С. Найдите длину отрезка KP, если АР = 34, а сторона ВС в 2 раза меньше стороны АВ.
Решение.
Пусть
сторона BC=x, тогда AB=2x, так как она в
2 раза больше стороны BC по условию задачи. Рассмотрим
четырехугольник CPKB, который вписан в окружность. Как известно, у
такого четырехугольника сумма противоположных углов равна 180 градусов, то есть
и 
. Предположим, что
угол 
, тогда
угол 
,
теперь, учитывая, что углы 
и 
смежные, то угол
то
есть он равен углу 
.
Аналогично и для угла 
. Из равенства этих двух пар углов
следует, что треугольники ACB и APK подобны друг
другу по двум углам.
Для подобных треугольников можно записать следующее соотношение:
,
откуда
и подставляя числовые значения, имеем:
.
Ответ: 17.
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: