ЕГЭ и ОГЭ
Главная

Решение 4861. Медиана ВМ треугольника ABC является диаметром окружности, проходящей через середину отрезка ВС. Найдите длину стороны АС, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 11.

Задание 26. Медиана ВМ треугольника ABC является диаметром окружности, проходящей через середину отрезка ВС. Найдите длину стороны АС, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 11.

Решение.

Окружность проходит через точку F с диаметром BM (где BM – медиана треугольника ABC). Следовательно, точка M – точка касания, а AC – касательная к малой окружности. Отсюда получаем, что  и треугольник BAM – равнобедренный с AB=BC, BM – биссектриса угла B.

Точка O – центр окружности и середина отрезка BM. Точка F – середина отрезка BC, значит, OF – средняя линия треугольника BMC и . Треугольник BOF – равнобедренный, следовательно, углы  и с учетом , имеем: , значит, треугольник BMC – прямоугольный и равнобедренный с BM=MC. В таком треугольнике углы при основании равны по 45º: . И, так как BM – биссектриса угла B, получаем, что . Треугольник ABC может иметь угол B=90º только при условии, что AC – диаметр большой окружности, описанной вокруг треугольника ABC.

По условию задания радиус описанной окружности равен R=11, значит,

Ответ: 22


Другие задания:

Темы раздела

Для наших пользователей доступны следующие материалы: