Задание 28. Небольшие шарики, массы которых m = 30 г и M = 60 г, соединены лёгким стержнем и помещены в гладкую сферическую выемку. В начальный момент шарики удерживаются в положении, изображённом на рисунке. Когда их отпустили без толчка, шарики стали скользить по поверхности выемки. Максимальная высота подъёма шарика массой М относительно нижней точки выемки оказалась равной 12 см. Каков радиус выемки R?
Решение.
Полная механическая энергия системы, равная сумме кинетической и потенциальной энергии, сохраняется, так как выемка гладкая и работа сил реакции стенок, в любой момент времени перпендикулярных скоростям шариков, равна нулю:
.
В начальный момент и момент подъёма на максимальную высоту Н кинетическая энергия системы равна нулю, поэтому её потенциальная энергия в эти моменты времени одинакова:
.
Начальное
положение системы изображено на рис. 1, а конечное — на рис. 2. Если
отсчитывать потенциальную энергию от нижней точки выемки, то начальная
потенциальная энергия системы 
, а её конечная потенциальная энергия 
.
Закон
сохранения энергии приводит к уравнению
,
из
которого следует, что 
.
При
движении гантели по поверхности выемки высоты подъёма большого и малого грузов
связаны. Заметим, что в прямоугольных треугольниках 
и
, 
,
, 
, и воспользуемся
теоремой
Пифагора: 
.
Отсюда
следует: 
.
Подставим
сюда выражение , полученное из
закона сохранения энергии, и получим:
; 
.
Подставляя сюда значения физических величин, получим:
R = 6(1 + 4) = 30 см.
Ответ: R = 30 см.
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: