1	Найдите корень уравнения Перейти к решению

 

2

Перед началом первого тура чемпионата по шашкам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 шашистов, среди которых 3 спортсмена из России, в том числе Василий Лукин. Найдите вероятность того, что в первом туре Василий Лукин будет играть с каким-либо шашистом из России. Перейти к решению

 

3	Острый угол В прямоугольного треугольника равен 50°. Найдите угол между высотой СН и медианой СМ, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах. Перейти к решению

 

4	Найдите значение выражения  при a = 6. Перейти к решению

 

5	От треугольной призмы, объём которой равен 120, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через сторону одного основания и противоположную вершину другого основания. Найдите объём оставшейся части. Перейти к решению

 

6	Прямая у = 5х + 11 является касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания. Перейти к решению

 

7

Расстояние от наблюдателя, находящегося на высоте h м над землёй, выраженное в километрах, до видимой им линии горизонта вычисляется по формуле , где R = 6400 км — радиус Земли. Человек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии 24 км. К пляжу ведёт лестница, каждая ступенька которой имеет высоту 20 см. На какое наименьшее количество ступенек нужно подняться человеку, чтобы он увидел горизонт на расстоянии не менее 32 км? Перейти к решению

 

8	Первый садовый насос перекачивает 8 литров воды за 4 минуты, второй насос перекачивает тот же объём воды за 6 минут. Сколько минут эти два насоса должны работать совместно, чтобы перекачать 60 литров воды? Перейти к решению

 

9	На рисунке изображён график функции . Найдите значение х, при котором f(x) = -10. Перейти к решению

 

10	Игральный кубик бросают дважды. Известно, что в сумме выпало 6 очков. Найдите вероятность того, что в первый раз выпало 2 очка. Перейти к решению

 

11	Найдите точку максимума функции Перейти к решению

 

12	а) Решите уравнение . б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-7π/2; -2π]. Перейти к решению

 

13

Основание пирамиды SABC — прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине С. Высота пирамиды проходит через точку B. а) Докажите, что середина ребра SA равноудалена от вершин B и C. б) Найдите угол между плоскостью SBC и прямой, проходящей через середины рёбер ВС и SA, если известно, что BS = AC. Перейти к решению

 

14	Решите неравенство Перейти к решению

 

15

Производство х тыс. единиц продукции обходится в  млн рублей в год. При цене p тыс. рублей за единицу годовая прибыль от продажи этой продукции (в млн рублей) составляет . При каком наименьшем значении p через 12 лет суммарная прибыль может составить не менее 744 млн рублей при некотором значении x? Перейти к решению

 

16

Точки A1, B1, C1 — середины сторон соответственно ВС, АС и АВ остроугольного треугольника ABC. а) Докажите, что окружности, описанные около треугольников A1CB1, A1BC1 и В1АС1 пересекаются в одной точке. б) Известно, что АВ = АС = 13 и ВС =10. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершины которого — центры окружностей, описанных около треугольников A1CB1, A1BC1 и В1АС1. Перейти к решению

 

17	Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений имеет единственное решение. Перейти к решению

 

18	Для действительного числа x обозначим через [x] наибольшее целое число, не превосходящее x. Например, , так как . а) Существует ли такое натуральное число n, что ? б) Существует ли такое натуральное число n, что ? в) Сколько существует различных натуральных n, для которых ? Перейти к решению