Задание 18. На доске написаны три различных натуральных числа. Второе число равно сумме цифр первого, а третье равно сумме цифр второго.
а) Может ли сумма этих чисел быть равна 2022?
б) Может ли сумма этих чисел быть равна 2021?
в) В тройке чисел первое число трёхзначное, а третье равно 2. Сколько существует таких троек?
Решение.
а) Да, например, можно взять числа 2009, 11 и 2. В сумме они дают число 2022.
б) Известно, что если число кратно 3, то сумма его цифр также кратна 3. Следовательно, если второе натуральное число b равно сумме цифр первого натурального числа a, то для них должно выполняться равенство:
где mod – операция вычисления целого остатка от деления.
Аналогично и для третьего натурального числа c:
Из последней системы следует, что сумма натуральных чисел a + b + c должна быть кратна 3. Но число 2021 не кратно 3. Следовательно, сумма чисел не может составлять 2021.
в) Сумма цифр любого трехзначного натурального числа не более 9+9+9=27. Сумма цифр второго натурального числа должна быть равна 2 и не превышать число 27. Таких чисел два: 11 и 20 (число 2 выбирать нельзя, т.к. все числа на доске различны, а 2 – это третье число).
Теперь нам нужно найти количество трехзначных натуральных чисел:
- сумма цифр которых равна 11 (всего 61):
119 128 137 146 155 164 173 182 191 209 218 227 236 245 254 263 272 281 290 308 317 326 335 344 353 362 371 380 407 416 425 434 443 452 461 470 506 515 524 533 542 551 560 605 614 623 632 641 650 704 713 722 731 740 803 812 821 830 902 911 920
- сумма цифр которых равна 20 (всего 36):
299 389 398 479 488 497 569 578 587 596 659 668 677 686 695 749 758 767 776 785 794 839 848 857 866 875 884 893 929 938 947 956 965 974 983 992
Итого, искомое число троек:
61 + 36 = 97
Ответ: а) да; б) нет; в) 97
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: