Задание 13. Основание пирамиды SABC — прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине С. Высота пирамиды проходит через точку В.
а) Докажите, что середина ребра SA равноудалена от вершин В и С.
б) Найдите угол между плоскостью SBC и прямой, проходящей через середины рёбер ВС и SA, если известно, что BS = 2AC.
Решение.
а) SB – высота пирамиды,
значит, 
и треугольник SBA – прямоугольный с
гипотенузой SA.
D – середина отрезка SA (по условию задания), значит, точка D – центр описанной окружности вокруг треугольника SAB и SD = DA = DB.
Так как 
и 
(треугольник
ABC – прямоугольный с
прямым углом C по условию
задания), то 
по теореме о трех перпендикулярах. Следовательно,
треугольник SCA – прямоугольный с
гипотенузой SA. Получается,
что точка D – центр описанной
окружности и вокруг треугольника SCA и SD = DA = DC. Имеем:
то есть, точка D равноудалена от точек B и C.
б) Пусть M – середина отрезка
SC, F – середина отрезка
BC. Тогда FM – средняя линия
треугольника SBC и 
и 
.
Таким образом, 
и 
.
Отрезок DB – средняя линия
треугольника SCA, следовательно,
и 
. Также
имеем: 
. Откуда следует, что 
и 
- искомый
угол.
По условию SB = 2AC. Пусть 
, тогда 
.
Имеем:
Ответ: 
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: