Задание 13. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания АВ равна 16, высота SH равна 10. Точка K — середина бокового ребра SA. Плоскость, параллельная плоскости ABC, проходит через точку K и пересекает рёбра SB и SC в точках Q и Р соответственно.
а) Докажите, что площадь четырёхугольника BCPQ составляет 3/4 площади треугольника SBC.
б) Найдите объём пирамиды KBCPQ.
Решение.
а) Прямая KQ лежит в плоскости KQP, параллельной плоскости ABC. Следовательно, прямые KQ и АВ не имеют общих точек, а поскольку эти прямые лежат в одной и той же плоскости SAB, они параллельны. Тогда по теореме Фалеса точка Q — середина ребра SB. Аналогично точка Р — середина ребра SC. Таким образом, отрезок QP — средняя линия треугольника SBC. Отсюда следует, что площадь треугольника SQP составляет четверть площади треугольника SBC, а тогда площадь четырёхугольника BCPQ составляет 3/4 площади треугольника SBC.
б)
Пусть отрезок KD — высота
пирамиды КАВС. Прямые SH и KD параллельны, а
точка К — середина отрезка SA, значит, отрезок KD является
средней линией треугольника ASH и 
.
Объём пирамиды SABC равен:
.
Объём пирамиды КАВС равен
.
Значит, объем пирамиды KSBC равен
Пирамиды
KSBC и KBCPQ имеют общую
высоту, равную расстоянию h от точки К до плоскости SBC. Пусть S1 – площадь
треугольника SBC, тогда площадь
четырёхугольника BCPQ равна 
.
Объем
пирамиды KSBC равен 
. С другой стороны, он
равен 
, откуда
Объём пирамиды KBCPQ равен
Ответ: 80√3.
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: