Задание
16.
Точки A, В, С, D и E лежат на
окружности в указанном порядке, причём ВС = CD = DE, а 
. Точка K — пересечение
прямых BE и AD.
а) Докажите, что прямая СЕ делит отрезок KD пополам.
б) Найдите площадь треугольника АВК, если AD = 4, DC = √3 .
Решение.
а) Углы: 
; 
. Учитывая, что 
(так как BC = CD = DE – по условию),
имеем:
Далее,
углы 
(так
как опираются на равные дуги). Следовательно, в треугольнике KED отрезок EM является высотой
и биссектрисой, значит, треугольник KED – равнобедренный и EM является
медианой, то есть, KM = MD и M – середина
отрезка KD.
б) Углы 
, так как опираются на
равные дуги (
).
Следовательно, 
и
(так как 
).
Пусть
, тогда (из
треугольника ACD):
Углы
(опираются
на равные дуги), отсюда имеем, что 
(также опираются на равные дуги).
Рассмотрим равнобедренный треугольник BAK. В нем AH является высотой
и биссектрисой, следовательно, H – середина BK.
Рассмотрим треугольник BHC:
Следовательно:
Рассмотрим треугольник ABH, из которого:
Площадь треугольника ABK, равна:
Ответ: 
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: