1	Найдите корень уравнения Перейти к решению

 

2	На олимпиаде по социологии 400 участников размещают в трёх аудиториях: в первых двух — по 170 человек, а оставшихся — в третьей аудитории. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник попадёт в третью аудиторию. Перейти к решению

 

3	Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 122°, угол ABD равен 36°. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах. Перейти к решению

 

4	Найдите значение выражения Перейти к решению

 

5	В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка О — центр основания, S — вершина, SO = 9, SC = 15. Найдите длину отрезка BD. Перейти к решению

 

6	На рисунке изображены график функции у = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0. Перейти к решению

 

7

Велосипедист совершает n оборотов педалей велосипеда, а велосипед при этом проходит путь, который можно найти по формуле  м, где R — радиус колеса в метрах, a1 и a2 — количество зубцов на большой и малой звездочках велосипеда соответственно. Какой путь пройдет велосипед при 13 оборотах педалей, если на большой звездочке 40 зубьев, на малой — 15, а диаметр колеса 57 см? Считайте, что π = 3,14. Результат округлите до целого числа метров. Перейти к решению

 

8

Имеется два сосуда. Первый содержит 55 кг, а второй — 20 кг растворов кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 68 % кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 75 % кислоты. Сколько процентов кислоты содержится в первом сосуде? Перейти к решению

 

9	На рисунке изображены графики функций  и , которые пересекаются в точке A. Найдите абсциссу точки A. Перейти к решению

 

10	За круглый стол на 6 стульев в случайном порядке рассаживаются 3 мальчика и 3 девочки. Найдите вероятность того, что рядом с любым мальчиком будут сидеть две девочки. Перейти к решению

 

11	Найдите наибольшее значение функции  на отрезке [4;16]. Перейти к решению

 

12	а) Решите уравнение . б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку . Перейти к решению

 

13

Точки A, B и C лежат на окружности основания конуса с вершиной S, причём A и C диаметрально противоположны. Точка M — середина ВС. а) Докажите, что прямая SM образует с плоскостью ABC такой же угол, как и прямая АВ с плоскостью SBC. б) Найдите угол между прямой SA и плоскостью SBC, если АВ = 6, ВС = 8 и SC = 5√2. Перейти к решению

 

14	Решите неравенство Перейти к решению

 

15

Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на четыре года. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 20 % по сравнению с началом года. В конце 1-го и 2-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 3-го и 4-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика превысит 8 млн рублей. Перейти к решению

 

16

На гипотенузе АВ и катетах ВС и АС прямоугольного треугольника ABC отмечены точки М, N и К соответственно, причём прямая NK параллельна прямой АВ и ВМ = BN = 1/2∙KN, Точка Р — середина отрезка KN. а) Докажите, что четырёхугольник ВСРМ — равнобедренная трапеция. б) Найдите площадь треугольника ABC, если ВМ = 1 и угол BCM = 15°. Перейти к решению

 

17	Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений имеет ровно шесть решений. Перейти к решению

 

18

Известно, что в кошельке лежало n монет, каждая из которых могла иметь достоинство 2, 5 или 10 рублей. Аня сделала все свои покупки, расплатившись за каждую покупку отдельно без сдачи только этими монетами, потратив при этом все монеты из кошелька. а) Могли ли все её покупки состоять из блокнота за 56 рублей и ручки за 29 рублей, если n = 14? б) Могли ли все её покупки состоять из чашки чая за 10 рублей, сырка за 15 рублей и пирожка за 20 рублей, если n = 19? в) Какое наименьшее количество пятирублёвых монет могло быть в кошельке, если Аня купила только альбом за 85 рублей и n = 24? Перейти к решению