Задание 13. Основание пирамиды SABC — прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине С. Высота пирамиды проходит через точку B.
а) Докажите, что середина ребра SA равноудалена от вершин B и C.
б) Найдите угол между плоскостью SBC и прямой, проходящей через середины рёбер ВС и SA, если известно, что BS = AC.
Решение.
а) Пусть D — середина ребра SA. По теореме о трёх перпендикулярах прямые SC и АС перпендикулярны. Медиана CD прямоугольного треугольника ACS равна половине гипотенузы AS. Медиана BD прямоугольного треугольника ASВ также равна половине гипотенузы AS. Значит, BD = CD.
б) Пусть F —
середина ребра ВС, М — середина ребра SC, тогда FM — средняя линия треугольника
CBS. Значит, 
,
прямые FM и BS параллельны, то есть FM — перпендикуляр к плоскости основания
пирамиды, поэтому отрезок FM перпендикулярен отрезку АС.
DM
— средняя линия треугольника ASC, поэтому 
, а прямые DM
и АС параллельны, значит отрезок DM перпендикулярен отрезкам FM и ВС, следовательно DM — перпендикуляр к плоскости грани CBS.
Таким образом, угол DFM — это угол между прямой DF и плоскостью грани CBS. По условию задачи BS=AC, поэтому MF = DM, значит,
Следовательно, угол DFM = 45°.
Ответ: 45°
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы:
