Задание 16. В параллелограмме ABCD угол А острый. На продолжениях сторон AD и CD за точку D выбраны точки М и N соответственно, причём AN = AD и CM = CD.
а) Докажите, что BN = BM.
б)
Найдите MN, если АС = 5, 
Решение.
а) Четырехугольник
ABCD – параллелограмм,
следовательно, 
.
По условию задания CD = CM, значит, треугольник DCM – равнобедренный
и 
. Также по
условию задания AD = AN, получаем, что
треугольник AND – равнобедренный
и 
. Но 
как вертикальные,
следовательно, 
и
. Отсюда
получаем, что 
.
По условию задания CD = CM, а также AB = CD (как противоположные стороны параллелограмма), следовательно, AB = CM и AN = BC. Так как BC = AD = AN, то треугольники BAN и MCB равны по двум сторонам и углу между ними. Получаем, что BN = BM.
б) Рассмотрим равнобедренную трапецию ABCM (так как AB = CM). Диагонали этой трапеции равны, то есть, AC = BM = BN = 5. Получаем, что треугольник NBM – равнобедренный с боковыми сторонами равными 5.
Рассмотрим треугольник ABN:
следовательно:
Рассмотрим треугольник NBM, в котором BH – высота. Из прямоугольного треугольника NBH следует, что
откуда
. Можно
записать отношение:
Учитывая,
что 
, имеем:
Ответ: 120/13
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: