Задание 13. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 на рёбрах АС и ВС отмечены соответственно точки М и N так, что AM : МС = CN : BN = 2:1.
а) Докажите, что плоскость MNB1 проходит через середину ребра А1С1.
б) Найдите площадь сечения призмы ABCA1B1C1 плоскостью MNB1, если АВ = 6, АА1= √3.
Решение.
а) По условию
задания AM : МС = CN : BN = 2:1. Пусть 
,
следовательно, 
. Так как призма правильная, то
в ее основании лежит равносторонний треугольник и 
.
Рассмотрим треугольник CMN. По теореме косинусов длина отрезка MN, равна:
Сделаем
дополнительное построение – отрезок 
и 
, который будет являться и медианой
треугольника ABC (так как
треугольник равносторонний). Следовательно, точка B2 – середина
отрезка AC.
Так как
основания призмы параллельны, то сечение проходит через прямую B1P, такую, что 
и 
. Учитывая, что B2 – середина AC, то точка P – середина A1C1.
б) Сечение NB1PM – трапеция, так
как . Отрезки 
, 
, 
, 
.
Проведем высоты 
. Пусть 
, тогда:
Из прямоугольных треугольников:
или 
Из прямоугольного треугольника BB1N (см. рисунок призмы) найдем:
Из прямоугольного треугольника PMH, имеем:
Следовательно:
или 
Приравниваем эти выражения, получаем:
Значит, 
и 
,
следовательно, высота сечения PM = 2 и
Ответ: 5√3
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: