Задание
18.
Для действительного числа x обозначим через [x] наибольшее
целое число, не превосходящее x. Например, 
, так как 
.
а)
Существует ли такое натуральное число n, что 
?
б)
Существует ли такое натуральное число n, что 
?
в)
Сколько существует различных натуральных n, для которых 
?
Решение.
а) Для суммы
дробей 
можно
записать неравенство:
б) Аналогично, имеем:
Необходимо подобрать такое n, чтобы:
откуда:
в) Значение n должно больше или равно числу 1945∙306, покажем это:
А все возможные натуральные числа n можно представить в виде:
где p, q, r, s – остатки от деления на 2, 3, 9 и 17 соответственно. Очевидно, что величина p может принимать только значения 0 или 1 (при делении на 2). Аналогично величины: q = {0, 1, 2}; r = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, s = {0, 1, …, 16}. Общее количество вариантов будет равно наименьшему общему кратному чисел 2, 9 и 17 (число 3 отбрасываем, т.к. оно учитывается числом 9). Имеем общее число вариантов:
2∙9∙17 = 306
Ответ: а) нет; б) да; в) 306
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: