Задание 18. На доске написаны три различных натуральных числа. Второе число равно сумме цифр первого, а третье равно сумме цифр второго.
а) Может ли сумма этих чисел быть равна 3456?
б) Может ли сумма этих чисел быть равна 2345?
в) В тройке чисел первое число трёхзначное, а третье равно 5. Сколько существует таких троек?
Решение.
а) Да, например, можно взять числа 3441, 12 и 3. В сумме они дают число 3456.
б) Известно, что если число кратно 3, то сумма его цифр также кратна 3. Следовательно, если второе натуральное число b равно сумме цифр первого натурального числа a, то для них должно выполняться равенство:
где mod – операция вычисления целого остатка от деления.
Аналогично и для третьего натурального числа c:
Из последней системы следует, что сумма натуральных чисел a + b + c должна быть кратна 3. Но число 2345 не кратно 3. Следовательно, сумма чисел не может составлять 2345.
в) Сумма цифр любого трехзначного натурального числа не более 9+9+9=27. Сумма цифр второго натурального числа должна быть равна 5 и не превышать число 27. Таких чисел два: 14 и 23 (число 5 выбирать нельзя, т.к. все числа на доске различны, а 5 – это третье число).
Теперь нам нужно найти количество трехзначных натуральных чисел:
- сумма цифр которых равна 14 (всего 70):
149 158 167 176 185 194 239 248 257 266 275 284 293 329 338 347 356 365 374 383 392 419 428 437 446 455 464 473 482 491 509 518 527 536 545 554 563 572 581 590 608 617 626 635 644 653 662 671 680 707 716 725 734 743 752 761 770 806 815 824 833 842 851 860 905 914 923 932 941 950
- сумма цифр которых равна 23 (всего 15):
99 689 698 779 788 797 869 878 887 896 959 968 977 986 995
Итого, искомое число троек:
70 + 15 = 85
Ответ: а) да; б) нет; в) 85
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: