Задание 16. В треугольнике ABC все стороны различны. Прямая, содержащая высоту ВН треугольника ABC, вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке F. Отрезок BD — диаметр этой окружности.
а) Докажите, что АВ = CF.
б) Найдите DF, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 12, угол BAC = 35°, угол ACB = 65°.
Решение.
а) Угол BCD – вписанный и
опирается на диаметр окружности, значит, он равен 90°. Далее, пусть 
, тогда 
. Учитывая, что 
, 
. Получаем: 
, откуда следует, что дуги 
и, следовательно, CF=AD.
б) Угол 
, тогда 
(так как дуги AD=CF, см. п. а) и 
. Из треугольника ABC найдем угол ABC:
Значит,
Учитывая, что треугольник DBF прямоугольный с гипотенузой DB=2∙12=24 и углами 30° и 60°, катет DF, лежащий против угла в 30°, равен:
Ответ: 12.
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: