Решение 2654. В школах № 1 и № 2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере 2 учащихся, а суммарно тест писал 51 учащийся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов.

Задание 19. В школах № 1 и № 2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере 2 учащихся, а суммарно тест писал 51 учащийся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы № 1 в школу № 2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах,

а) Мог ли средний балл в школе № 1 вырасти в 2 раза?

б) Средний балл в школе № 1 вырос на 10 %, средний балл в школе № 2 также вырос на 10 %. Мог ли первоначальный средний балл в школе № 2 равняться 1?

в) Средний балл в школе № 1 вырос на 10 %, средний балл в школе № 2 также вырос на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе № 2.

Решение.

а) Предположим, что в школе №1 n учеников писали тест и набрали средний балл, равный A. Значит, суммарный балл будет равен n∙A и при переходе одного ученика в школу №2 суммарный балл должен стать равным 2A(n-1). Получаем уменьшение суммарного балла на

Учитывая, что перешедший учащийся набрал положительное число баллов и , имеем отрицательное значение нашего выражения, что противоречит сути задачи.

б) Предположим, что в школе №2 средний балл равен B и перешедший ученик набрал u баллов. Учитывая, что после перехода ученика в школу №2 средний балл в школе №1 вырос на 10% (в 1,1 раз), то для u можно записать равенство:

Аналогичное равенство можно записать и через B, учитывая, что изначально в школе №2 было 51-n учеников, а затем, стало 52-n учеников:

Приравняем все эти выражения и умножим их на 10:

Так как B=1 по условию, то

А из выражения следует, что , значит, подходит только значение n=2, чтобы получить натуральное u. Но при n=2 из выражения

не получается целое A. Поэтому ситуация под буквой б невозможна.

в) Предположим, что минимальный средний балл B=2 (случай при B=1 уже рассмотрен в б). Тогда получаем, что n=2 или 7, но при этих значениях нельзя получить целое A. Не подходит.

Если B=3, то n=2. Имеем u=18 и A=20. Подходит.

Ответ: а) нет; б) нет; в) 3.

Другие задания: