Решение 2754. В школах № 1 и № 2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере 2 учащихся, а суммарно тест писали 9 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов.

Задание 19. В школах № 1 и № 2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере 2 учащихся, а суммарно тест писали 9 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы № 1 в школу № 2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.

а) Мог ли средний балл в школе № 1 уменьшиться в 10 раз?

б) Средний балл в школе № 1 уменьшился на 10 %, средний балл в школе № 2 также уменьшился на 10 %. Мог ли первоначальный средний балл в школе № 2 равняться 7?

в) Средний балл в школе № 1 уменьшился на 10 %, средний балл в школе № 2 также уменьшился на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе № 2.

Решение.

а) Предположим, что в школе №1 n учеников писали тест и набрали средний балл, равный A. Значит, суммарный балл будет равен n∙A и при переходе одного ученика в школу №2 суммарный балл должен стать равным . Получаем уменьшение суммарного балла на

Учитывая, что перешедший учащийся набрал положительное число баллов и , получаем, что такая ситуация вполне возможна.

б) Предположим, что в школе №2 средний балл равен B и перешедший ученик набрал u баллов. Учитывая, что после перехода ученика в школу №2 средний балл в школе №1 уменьшился на 10% (в 0,9 раз), то для u можно записать равенство:

Аналогичное равенство можно записать и через B, учитывая, что изначально в школе №2 было 9-n учеников, а затем, стало 10-n учеников:

Приравняем все эти выражения и умножим их на 10:

Так как B=7 по условию, то

Так как тест писали суммарно 9 учащихся, то при не получается натурального u. Поэтому ситуация под буквой б невозможна.

в) Предположим, что минимальный средний балл B=1. Тогда из выражения

не получаем натуральное u. Далее:

- при B=2, имеем n =5, но не получаем целого A;

- при B=5, имеем n =2 или 4 или 6, и при n=6 получаем:

Ответ: а) нет; б) нет; в) 5.

Другие задания: