ЕГЭ и ОГЭ
Главная

Решение 3154. Издательство на выставку привезло несколько книг для продажи (каждую книгу привезли в единственном экземпляре). Цена каждой книги — натуральное число рублей. Если цена книги меньше 80 рублей, на неё приклеивают

Задание 19. Издательство на выставку привезло несколько книг для продажи (каждую книгу привезли в единственном экземпляре). Цена каждой книги — натуральное число рублей. Если цена книги меньше 80 рублей, на неё приклеивают бирку «выгодно». Однако до открытия выставки цену каждой книги увеличили на 5 рублей, из-за чего количество книг с бирками «выгодно» уменьшилось.

а) Могла ли уменьшиться средняя цена книг с биркой «выгодно» после открытия выставки по сравнению со средней ценой книг с биркой «выгодно» до открытия выставки?

б) Могла ли уменьшиться средняя цена книг без бирки «выгодно» после открытия выставки по сравнению со средней ценой книг без бирки «выгодно» до открытия выставки?

в) Известно, что первоначально средняя цена всех книг составляла 103 рубля, средняя цена книг с биркой «выгодно» составляла 67 рублей, а средняя цена книг без бирки — 157 рублей. После увеличения цены средняя цена книг с биркой «выгодно» составила 70 рублей, а средняя цена книг без бирки — 146 рублей. При каком наименьшем количестве книг такое возможно?

Решение.

а) Предположим, что продавались всего три книги, которые первоначально стоили 120, 76 и 20 рублей. Средняя цена «выгодных» книг составляет

 рублей.

После увеличения цены книги стали стоить 125, 81 и 25 рублей. Теперь средняя цена «выгодных» книг составляет 25 рублей.

б) В примере из предыдущего пункта первоначально средняя цена «невыгодных» книг составляет 120 рублей, а после увеличения

 рубля.

в) Пусть всего привезли n книг. Первоначально «выгодных» было x книг, после увеличения цены выгодных стало y книг. Средняя цена всех книг после увеличения составляет  рублей. Получаем два уравнения:

из первого уравнения имеем:

А из второго:

Получаем систему:

Очевидно, что n должно быть кратно и 5 и 2, следовательно . И при минимальном значении n=10 можно взять x=6, а y=5 (в соответствии с системой). Получили всюду целые числа, значит, n=10 подходит.

Ответ: а) да; б) да; в) 10.


Другие задания:

Темы раздела

Для наших пользователей досутпны следующие материалы: