Задание 16. В треугольнике ABC известно, что АС = 10 и АВ = ВС = 14.
а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная стороне АС, пересекает окружность, вписанную в треугольник ABC.
б) Найдите отношение длин отрезков, на которые окружность делит среднюю линию, параллельную стороне АС.
Решение.
а) Чтобы средняя линия пересекала вписанную окружность, отрезок OT < r, где r – радиус вписанной окружности. Используя формулу:
,
где p – полупериметр треугольника. Площадь треугольника также можно вычислить по формуле Герона:
откуда для r, имеем:
По
условию задания длины сторон: 
, следовательно:
и
Для пересечения средней линией вписанной окружности, необходимо, чтобы
Учитывая, что точка T – середина высоты BH, по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника BTM, имеем:
Имеем:
Следовательно, средняя линия пересекает вписанную окружность.
б) По условию AC=10, значит, MN=AC:2 = 5 (по свойству средней линии треугольника). Также известно, что BM = AB:2 = 7 и AP = AH = AC:2 = 5. Откуда MP = BM – AP = 7-5 = 2. Так как MP – касательная, а MN – секущая, то по теореме о секущей и касательной, можно записать:
Пусть
, а 
. Получаем уравнение:
Значение x=4 не удовлетворяет условию задачи, значит, MF=1, FZ=3, ZN=1. И окончательно, имеем:
MF:FZ:ZN = 1:3:1
Ответ: 1:3:1
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: