Задание 14. Точки А, В и С лежат на окружности основания конуса с вершиной S, причём А и С диаметрально противоположны. Точка М — середина ВС.
а) Докажите, что прямая SM образует с плоскостью ABC такой же угол, как и прямая АВ с плоскостью SBC.
б) Найдите угол между прямой SA и плоскостью SBC, если АВ = 4, ВС = 6 и SC = 4√2.
Решение.
а) SO – высота конуса, поэтому SO перпендикулярна плоскости ABC. OM – проекция SM на плоскость ABC, следовательно, угол между SM и плоскостью ABC – это угол SMO.
Точка
M – середина BC по условию
задания. Треугольник BOC – равнобедренный, значит, OM перпендикулярна
BC. Точка O – середина AC, следовательно,
OM – средняя линия
треугольника ABC и 
. Получаем, что угол
между AB и плоскостью SBC – это угол
между OM и плоскостью SBC и равен углу SMO.
б) Рассмотрим прямоугольный треугольник ASP (так как AP перпендикулярна SM). Выразим синус угла ASP:
Учитывая,
что AS=SC=4√2, а AP=2∙OP1 (
) и OP1 – высота
прямоугольного треугольника SOM, то
откуда
Так как OM=AB:2=2, MC=BC:2=3, найдем SM из прямоугольного треугольника SMC:
Далее, найдем SO из прямоугольного треугольника SOM:
Тогда
, 
Получаем:
и
Ответ: 
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: