ЕГЭ и ОГЭ
Главная

Решение 3549. 14. Точки А, В и С лежат на окружности основания конуса с вершиной S, причём А и С диаметрально противоположны. Точка М — середина ВС. а) Докажите, что прямая SM образует с плоскостью ABC такой же угол

Задание 14. Точки А, В и С лежат на окружности основания конуса с вершиной S, причём А и С диаметрально противоположны. Точка М — середина ВС.

а) Докажите, что прямая SM образует с плоскостью ABC такой же угол, как и прямая АВ с плоскостью SBC.

б) Найдите угол между прямой SA и плоскостью SBC, если АВ = 4, ВС = 6 и SC = 4√2.

Решение.

а) SO – высота конуса, поэтому SO перпендикулярна плоскости ABC. OM – проекция SM на плоскость ABC, следовательно, угол между SM и плоскостью ABC – это угол SMO.

Точка M – середина BC по условию задания. Треугольник BOC – равнобедренный, значит, OM перпендикулярна BC. Точка O – середина AC, следовательно, OM – средняя линия треугольника ABC и . Получаем, что угол между AB и плоскостью SBC – это угол между OM и плоскостью SBC и равен углу SMO.

б) Рассмотрим прямоугольный треугольник ASP (так как AP перпендикулярна SM). Выразим синус угла ASP:

Учитывая, что AS=SC=4√2, а AP=2∙OP1 () и OP1 – высота прямоугольного треугольника SOM, то

откуда

Так как OM=AB:2=2, MC=BC:2=3, найдем SM из прямоугольного треугольника SMC:

Далее, найдем SO из прямоугольного треугольника SOM:

Тогда

,

Получаем:

и

Ответ:


Другие задания:

Темы раздела

Для наших пользователей досутпны следующие материалы: