Задание 14. Основание пирамиды SABC — равносторонний треугольник ABC. Боковое ребро SA перпендикулярно плоскости основания, точки М и N — середины рёбер ВС и АВ соответственно, причём SN = AM.
а) Докажите, что угол между прямыми AM и SN равен 60°.
б) Найдите расстояние между этими прямыми, если ВС = 6.
Решение.
а) В треугольнике ABM проведем среднюю линию NM1 параллельно отрезку AM. Угол SNM1 будет углом между скрещивающимися прямыми SN и AM.
Пусть NM1 = a, тогда AM = 2a (по свойству средней линии). Рассмотрим прямоугольный треугольник AMB (с прямым углом AMB). Из него следует, что:
и
. Из
прямоугольного треугольника ASN найдем катет AS (учитывая, что SN = AM – по условию
задания):
Тогда
Используя теорему косинусов, найдем косинус угла между SN и NM1:
Следовательно,
,
а угол между прямыми SN и AM, равен (угол между прямыми всегда острый):
180° - 120° = 60°
б) Расстояние между скрещивающимися прямыми SN и AM – это перпендикуляр из точки M к плоскости SNM1. Обозначим ее через h. В свою очередь h – это высота пирамиды с вершиной M, проведенной к основанию SNM1. Будем искать высоту h из объема пирамиды:
или, что то же самое:
,
откуда
Пусть
, тогда:
откуда
и
По
условию AB = BC = AC = 6,
следовательно, AN = 3, 
, 
(как средняя линия треугольника ABM). Получаем (учитывая,
что SN = AM = 3√3 по
условию задания):
Рассмотрим прямоугольный треугольник SAN, из которого имеем:
и
Ответ: √2
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: