ЕГЭ и ОГЭ
Главная

Решение 2949. Основанием пирамиды FABC является правильный треугольник ABC со стороной 48. Все боковые рёбра пирамиды равны 40. На рёбрах FB и FC отмечены соответственно точки K и N так, что FK = FN = 10. Через точки

Задание 14. Основанием пирамиды FABC является правильный треугольник ABC со стороной 48. Все боковые рёбра пирамиды равны 40. На рёбрах FB и FC отмечены соответственно точки K и N так, что FK = FN = 10. Через точки K и N проведена плоскость α, перпендикулярная плоскости ABC.

а) Докажите, что плоскость α делит медиану AM в отношении 1:3.

б) Найдите расстояние от точки C до плоскости α.

Решение.

а) Плоскость α проходит через прямую KN, следовательно, . Плоскость KNQ пересекает плоскость ABC по прямой PQ. Значит, . Плоскость FMA пересекает прямую KN в точке E, а прямую PQ в точке L. Так как плоскость FMA перпендикулярна плоскости ABC и плоскость KNQ перпендикулярна плоскости ABC, то прямые  и треугольники FMO и EML подобны друг другу, откуда (учитывая, что MF=40, ME=40-10=30)

Пусть ML=3x, MO=4x, тогда LO=MO-ML=x. Учитывая, что пирамида FABC – правильная, то точка O является центром описанной (и вписанной) окружности треугольника ABC и делит AM в точке O в отношении 2:1, ситая от вершины A. Значит, AO=2MO=8x, а AL=8x+x=9x. Получаем, что

или в виде: LM:AL = 1:3.

б) По условию задания треугольник ABC – равносторонний, AM – его медиана, следовательно,

откуда

Точка O – пересечение медиан и ML:LA=1:3 (см. п. а), имеем:

это также есть расстояние от точки C до плоскости KNQ.

Ответ: 6√3


Другие задания:

Темы раздела

Для наших пользователей доступны следующие материалы: